兩人看看李縱所寫下的面積，又看了看李縱。
按照他們的理解，只要字母中間不寫東西的，都做乘法運(yùn)算。那難不成這條式子的意思是用f(x)去乘dx，問(wèn)題是這個(gè)dx又是什么意思。
上面可沒(méi)有d這個(gè)字母。
不過(guò)張公綽還是試探著問(wèn)道：“難不成……”
但話說(shuō)到一半，張公綽便又停了下來(lái)。
“老夫還是不太能夠理解，這圖形的面積該如何求?！?p> 李縱知道張公綽有點(diǎn)被現(xiàn)實(shí)束縛住了，也是提醒道：“這個(gè)dx的意思，就是一滴滴的x的意思?！?p> 李縱說(shuō)這話的同時(shí)，還用手指比了一段很小很小的距離給他看。
張公綽立刻就脫口而出，“難不成，你是想用割方條術(shù)？”
“什么？什么割方條術(shù)？”恒巽也是立刻問(wèn)道。
張公綽便道：“如果把這個(gè)dx比作是一小段的距離，那么這個(gè)f(x)，就是它的高。底乘高，正是面積?！?p> “但……”
他緊接著又低著頭猶豫了下。
李縱卻是道：“沒(méi)錯(cuò)！雖說(shuō)你說(shuō)的這個(gè)割方條術(shù)還不是很準(zhǔn)確，但是，我們就是把這個(gè)圖形，看成是一條條的鉛垂線段，而且這條鉛垂線段的底，正常來(lái)說(shuō)，我們都會(huì)認(rèn)為線是沒(méi)有寬度的，但現(xiàn)在我們認(rèn)為它有一滴滴的距離，而這個(gè)一滴滴的距離，就是dx?！?p> “所以這里的f(x)dx的意思，就是你原本所想的那樣，即是底乘高的意思。”
張公綽卻道：“可這樣……這條線上，不是每一處……那這個(gè)要怎么加起來(lái)？”
李縱便道：“之前不是教過(guò)你們∑符號(hào)嗎？這個(gè)彎曲的像蛇一樣的符號(hào)，∫，它的意思就是求和。那為什么不用前面的那個(gè)，這就涉及到，兩者求和的意義不同?！?p> “前者是對(duì)離散的，像1、2、3、4這樣的，一個(gè)一個(gè)加在一起的求和，而∫是對(duì)任何實(shí)數(shù)，而且是連續(xù)分布的數(shù)的加起來(lái)一起?！?p> “比如說(shuō)，在1跟2之間，會(huì)有一個(gè)根號(hào)2，也就是2的開(kāi)方，它比1大，比2小，而反應(yīng)在我們這個(gè)圖形上，顯然，雖然我們看不到，但它肯定是有的，我們要把這個(gè)也算上。而不能去跳過(guò)那些在1跟2之間的數(shù)。”
“然后，剩下還有兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是a，一個(gè)是b，下面的a，表示我要求和的起點(diǎn)，上面的b，表示我要求和的終點(diǎn)。就這問(wèn)題而言，這個(gè)求和是有邊界的，而a、b在這里表示的就是求和的邊界?！?p> “所以整條式子的意思就是，在這個(gè)圖形中，它的面積就等于從a到b這個(gè)區(qū)間，把所有這些底只有一滴滴距離，大小為dx，高度是f(x)的鉛垂線的面積，現(xiàn)在我們按照面積公式，把它的面積全部都加起來(lái)?！?p> “然后！這條式子我們就說(shuō)它是這個(gè)圖形的面積公式。”
“那么問(wèn)題來(lái)了，雖說(shuō)我們定義了這些內(nèi)涵，讓這個(gè)式子賦予了很直白很簡(jiǎn)單易懂的含義，接下來(lái)我們只要能夠算出這條式子，那么我們就能知道這個(gè)圖形的面積?！?p> “可是……這些都是我們直接說(shuō)它就是這樣的，我們其實(shí)并不知道它是怎么算的?！?p> “這個(gè)一滴滴的距離dx，我們不可能真的一滴滴加起來(lái)。在現(xiàn)實(shí)中，這樣的事情我們是辦不到的。”
“所以接下來(lái)怎么辦！”
“怎么辦？”兩人又是瞪大著眼睛看著他。
李縱袖子一捋，卻是道：“我們先把這個(gè)放一放，接下來(lái)我們?cè)賹W(xué)學(xué)另一個(gè)概念。”
“我們假設(shè)有λ=x(t)這么一個(gè)函數(shù)。”
“t，我們代表的是時(shí)間，單位是……隨便，比如說(shuō)一個(gè)時(shí)辰?！?p> “x，我們代表的是位置，比如說(shuō)，假設(shè)我們?cè)诼飞厦扛粢欢尉嚯x，比如說(shuō)十里路，就設(shè)置一個(gè)路標(biāo)，上面寫著這里的里程數(shù)，比如說(shuō)，從出發(fā)點(diǎn)，0，然后是10、20、30這樣，而在它們中間，當(dāng)然可能也有我們之前講到的那些類似于不是一個(gè)整數(shù)的，比如說(shuō)根號(hào)2里?！?p> “總之，這些都不管，那x的單位就是：里?！?p> “然后我們想象一下，當(dāng)一個(gè)人在這么一段路上走的時(shí)候，他是不是每一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)里數(shù)?！?p> “現(xiàn)如今我們?cè)俣x一個(gè)速度的概念，什么是速度，就是路程除以時(shí)間?！?p> “好比說(shuō)：你們兩位，現(xiàn)如今離家有三十里，然后回去的話，走路回去的話，要三天?！?p> “那么我們就說(shuō)，你們回家的平均速度，就是三十里除以三天，每天走十里路?！?p> “現(xiàn)在我們?cè)偌僭O(shè)一下，我們要是不想知道得這么粗糙，我們要想知道的是，你們二人每一瞬間，不是一天的平均速度，而是每一個(gè)瞬間的速度，這個(gè)式子又要如何表示？”
“按照前面的例子，是不是就是，如圖?！?p> “dx除以dt，在一滴滴的時(shí)間之內(nèi)，走了一滴滴的路。然后單位是，按照上面單位，結(jié)果就變成了人的瞬時(shí)速度是里/時(shí)辰。”
“通過(guò)這個(gè)式子，我們是不是就可以求得，某個(gè)人在某一瞬間很短很短的時(shí)間之內(nèi)，他的速度?！?p> “當(dāng)然！自古以來(lái)，就有一個(gè)詭論，那就是假設(shè)把我們動(dòng)的這個(gè)時(shí)間跟位置記錄下來(lái)，畫下來(lái)，而且我們假設(shè)它可以被畫下來(lái)，那么，假如說(shuō)每一瞬間，我們?cè)诋嬌隙紱](méi)有動(dòng)過(guò)，那我們是怎么從一個(gè)地方移動(dòng)到另一個(gè)地方的?！?p> “其實(shí)實(shí)際情況自然是，我們不可能在每一瞬間都沒(méi)有動(dòng)，我們還是會(huì)動(dòng)的?！?p> “而接下來(lái)我們說(shuō)的這個(gè)，就是為了解決這個(gè)問(wèn)題，如下所示：”
圖。
“這式子的意思就是，移動(dòng)過(guò)的距離x(t)-x(a)，除以時(shí)間變化t-a，得到速度?！?p> “可這個(gè)式子還不夠完美，因?yàn)椤?p> “我們要想知道，我們?cè)诤芏毯芏痰臅r(shí)間，我們的速度，雖然我們已經(jīng)有了上面這個(gè)式子，可問(wèn)題是，這個(gè)很短很短的時(shí)間到底是多少。”
“有人說(shuō)，很短很短的時(shí)間是眨一下眼的功夫，也有人不同意，說(shuō)還要比這個(gè)時(shí)間小千分之一，萬(wàn)分之一，那么，我們?cè)撊绾味x這個(gè)很短很短的時(shí)間，才能夠讓所有的人都信服?！?p> “那我們就可以讓這個(gè)式子當(dāng)中的t=a，t=a的意思，就是說(shuō)，我讓t就是a，這樣大家面對(duì)這個(gè)很短很短的時(shí)間，就不會(huì)說(shuō)，t-a到底是不是就是已經(jīng)很短很短了?！?p> “因?yàn)槲覀冏宼=a，那就已經(jīng)是變得不可再短了，是也不是？”
“但是在數(shù)術(shù)上，如果讓t=a，我們沒(méi)有辦法把這個(gè)式子算出來(lái)?！?p> “上面是零，下面是零，零除以零等于多少？可我們還是想讓這個(gè)式子能被算出來(lái)?！?p> “所以，在這里，我們?cè)俅我胍粋€(gè)新的符號(hào)，來(lái)表示我們接下來(lái)要做的事?！?p> 圖。
“我們就用這個(gè)形式寫出來(lái)，表示我們接下來(lái)要做的事?！?p> “而且，我們將這個(gè)過(guò)程，稱之為微分?！?p> “至于前面我們說(shuō)的面積求和，則是積分?！?p> “那么問(wèn)題來(lái)了，這兩個(gè)東西加起來(lái)，合稱‘微積分’，接下來(lái)要怎么用。”
“我們還是剛剛的例子，計(jì)算瞬時(shí)速度，也就是在一段很短很短時(shí)間的速度，這個(gè)速度是通過(guò)路程除以時(shí)間，微分得來(lái)的?！?p> “微分所記錄的是每一個(gè)很短很短的時(shí)間，人所走過(guò)時(shí)的速度?！?p> “現(xiàn)在我假設(shè)，之前積分的圖，這就是人在很短很短時(shí)間的速度的變化的坐標(biāo)圖?！?p> “現(xiàn)在我要求，人在某一段時(shí)間之內(nèi)，也就是由a到b，他移動(dòng)了多少路程，該怎么求？”