第六章 上大學(xué)時(shí)的困惑

　　高中的室友們都以為李一上大學(xué)會(huì)選擇哲學(xué)專(zhuān)業(yè)，但是他卻選擇了經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)。一直以來(lái)，李一覺(jué)得讀哲學(xué)書(shū)只是一種愛(ài)好，而讀經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)則是為了能為社會(huì)做些有用的事。

　　上大學(xué)時(shí)，給李一留下深刻印象的其中一門(mén)必修課是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)課。講授這門(mén)課的老師在國(guó)外獲得經(jīng)濟(jì)學(xué)博士學(xué)位，并在國(guó)外當(dāng)了兩年講師。他的課很受歡迎，除了經(jīng)濟(jì)系的學(xué)生，其他系的一些學(xué)生也來(lái)聽(tīng)課。

　　這天，老師在課上講到了需求曲線(xiàn)。

　　“我們用橫坐標(biāo)表示需求量，用縱坐標(biāo)表示價(jià)格。假定其他條件不變，價(jià)格下降，需求量上升。所以，需求曲線(xiàn)是向右下方傾斜的?！崩蠋熞贿呌庙懥恋穆曇粽f(shuō)著，一邊拿著白板筆在白板上畫(huà)圖。

　　李一和其他學(xué)生都專(zhuān)心地聽(tīng)著。

　　“當(dāng)價(jià)格之外的因素發(fā)生變動(dòng)時(shí)，需求曲線(xiàn)會(huì)整體地向左或向右移動(dòng)?！崩蠋熃又f(shuō)。

　　“為什么是這樣的呢？”這讓李一感到困惑，但是他沒(méi)有在課堂上提問(wèn)。

　　下課后，李一走到老師面前，有些遲疑地問(wèn)：“老師，為什么價(jià)格之外的因素發(fā)生變動(dòng)，需求曲線(xiàn)就一定會(huì)整體向左或向右移動(dòng)呢？”

　　老師以為李一沒(méi)聽(tīng)懂課上的內(nèi)容，又重復(fù)講解了一遍：“價(jià)格變動(dòng)引起相應(yīng)的需求量沿著需求曲線(xiàn)變動(dòng)，而價(jià)格之外的因素引起每一價(jià)格所對(duì)應(yīng)的需求量一起向左或向右移動(dòng)。”

　　“哦。”李一似乎沒(méi)弄清楚自己到底是哪里有疑問(wèn)，但是他感覺(jué)老師剛才的說(shuō)法不嚴(yán)謹(jǐn)。所謂的天賦，有時(shí)就只是一種超乎多數(shù)人的直覺(jué)。在多數(shù)人看來(lái)正確無(wú)誤的論斷，那些有天賦的人卻能敏感地覺(jué)察到其中的不足。

　　不過(guò)，在整個(gè)大學(xué)階段，除了這次提問(wèn)，李一都沒(méi)有去弄清楚自己的疑問(wèn)到底是什么。直到若干年后的一天，李一又想起這個(gè)問(wèn)題時(shí)，他嘗試著給出“當(dāng)價(jià)格之外的因素發(fā)生變動(dòng)時(shí)，需求曲線(xiàn)會(huì)整體地向左或向右移動(dòng)?！边@句話(huà)的一個(gè)嚴(yán)格的證明。出乎意料的是，他發(fā)現(xiàn)這句話(huà)并不是一般成立的。這正是他當(dāng)年的疑問(wèn)所在。

　　上大學(xué)期間，除了上必修課，李一很積極地去聽(tīng)那些自己感興趣的選修課，比如數(shù)學(xué)欣賞課、先秦諸子經(jīng)典選讀課、美學(xué)概論課等。上這些選修課給李一帶來(lái)了許多愉快的體驗(yàn)。

　　在數(shù)學(xué)欣賞課上，老師提到了許多在《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》這本書(shū)中有寫(xiě)到的內(nèi)容。這門(mén)課給李一留下比較深印象的是關(guān)于康托爾的集合論的那節(jié)課。在這節(jié)課上，老師先介紹了康托爾所定義的一系列無(wú)窮基數(shù)，比如阿列夫零、阿列夫一、阿列夫二等。接著，老師演示如何證明自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集不能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)以及自然數(shù)集和自然數(shù)集的冪集不能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)。再接著，老師提到了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)以及如何證明一些跟集合論相關(guān)的數(shù)學(xué)命題，比如代數(shù)數(shù)有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)等。

　　李一對(duì)康托爾的集合論中那些反直觀的論斷感到十分困惑，比方說(shuō)，集合論中認(rèn)為正整數(shù)集｛1，2，3，4，5，…｝能和正偶數(shù)集｛2，4，6，8，10，…｝構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)。從直觀來(lái)說(shuō)，正整數(shù)集的元素個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)多于正偶數(shù)集的元素個(gè)數(shù)。雖然有一種說(shuō)法，就是不能從有窮的角度看待一個(gè)涉及無(wú)窮的對(duì)象，但是李一仍覺(jué)得這似乎是不可能成立的。

　　正如李一后來(lái)所發(fā)現(xiàn)的，康托爾的集合論實(shí)質(zhì)上是不成立的。其中最大的問(wèn)題恰恰隱藏于看起來(lái)最可靠的公理，即存在無(wú)窮集。比方說(shuō)，正整數(shù)集是一個(gè)無(wú)窮集。按照康托爾的說(shuō)法，正整數(shù)集的基數(shù)是阿列夫零。

　　現(xiàn)在有一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于一個(gè)取值范圍是全體正整數(shù)的變量n，n能不能趨向于阿列夫零？如果n不能趨向于阿列夫零，那么阿列夫零是怎么得來(lái)的？比如，n = 100時(shí)，｛1，2，…，100｝這個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)正好是100。所以，如果集合｛1，2，3，…，n｝中的n不能趨向于阿列夫零，那么正整數(shù)集｛1，2，3，4，5，…｝的元素個(gè)數(shù)怎么會(huì)是阿列夫零呢？另一方面，集合論中證明兩個(gè)無(wú)窮集合一一對(duì)應(yīng)，比如正整數(shù)集｛1，2，3，4，5，…｝和正偶數(shù)集｛2，4，6，8，10，…｝一一對(duì)應(yīng)，也不過(guò)是通過(guò)證明不管集合｛1，2，3，…，n｝中的n如何增加，這兩個(gè)集合中的元素總能一一對(duì)應(yīng)罷了。所以，如果n不能趨向于阿列夫零，那么這兩個(gè)集合中的元素一一對(duì)應(yīng)如何導(dǎo)出這兩個(gè)集合的基數(shù)都是阿列夫零呢？

　　可是，如果n能趨向于阿列夫零，那么任意一個(gè)常數(shù)都能趨向于阿列夫零。這是因?yàn)?，阿列夫零有這樣一種特殊性質(zhì)，即阿列夫零減去任何一個(gè)正整數(shù)，所得到的結(jié)果仍然是阿列夫零。而正整數(shù)變量n不管怎么增加，所增加的總是一個(gè)有限的量，從而有，阿列夫零減去這個(gè)有限量所得仍然是阿列夫零。這意味著，n增加與不增加沒(méi)有任何區(qū)別。舉例來(lái)說(shuō)，數(shù)字1和數(shù)字1億的任意次方都是同等接近于阿列夫零的。所以說(shuō)，如果n能趨向于阿列夫零，那么任意一個(gè)常數(shù)都能趨向于阿列夫零。然而，“任意一個(gè)常數(shù)都能趨向于阿列夫零”這一論斷顯然是荒謬的。

　　這樣一來(lái)，不管n能或者不能趨向于阿列夫零，都會(huì)導(dǎo)致站不住腳的論斷。這樣看來(lái)，阿列夫零不能具有康托爾的集合論中所認(rèn)定的那種特殊性質(zhì)。從另一種角度來(lái)說(shuō)，阿列夫零的產(chǎn)生是基于諸如正整數(shù)集｛1，2，3，4，5，…｝這樣的集合的。對(duì)于正整數(shù)集中的每個(gè)元素，都不具有其自身減去一個(gè)正整數(shù)后所得結(jié)果仍是自身這種特殊性質(zhì)，那為什么阿列夫零能有這種特殊性質(zhì)呢？這除了人為的編造，找不到任何其他可信的理由。

　　由于阿列夫零的存在是否成立決定了阿列夫一、阿列夫二等一系列無(wú)窮基數(shù)的存在是否成立，所以如果阿列夫零的存在是不成立的，那么康托爾的集合論實(shí)質(zhì)上是不成立的。另一方面，如果阿列夫零的性質(zhì)跟普通的正整數(shù)一樣，那么康托爾的集合論沒(méi)有任何實(shí)際意義。